r语言矩阵求逆 R语言矩阵求逆

如何求n维矩阵的逆

对于比较高维的矩阵求逆，通常是通过三类初等行变换来做 对于一个具体矩阵，我们在右边加一个单位矩阵 1 3 4 3……1 0 0 0 0 2 3 0……0 1 0 0 1 1 1 3……0 0 1 0 0 0 3 0……0 0 0 1 然后我们知道可以通过行初等变换把一个矩阵变为单位阵，所以我们就对左边的矩阵如此操作，同时也变换右边的矩阵 比如第一步，将第一行乘以-1加到第三行 1 3 4 3……1 0 0 0 0 2 3 0……0 1 0 0 0 -2 -3 0… -1 0 1 0 0 0 3 0……0 0 0 1 然后把第二行乘以1加到第三行 1 3 4 3……1 0 0 0 0 2 3 0……0 1 0 0 0 0 0 0… -1 1 1 0 0 0 3 0……0 0 0 1 这是我们发现左边的行列式为0，也就是说例子给的根本不是一个可逆阵，所以没必要继续求下去了 但是对于一个可逆阵，我们可以不断地做下去把左边变成一个单位阵 此时右边的矩阵就是我们要求的逆矩阵

要求n维矩阵的逆，可以使用高斯-约旦消元法或LU分解法。对于高斯-约旦消元法，将矩阵与单位矩阵拼接成增广矩阵，通过行变换将左侧变为单位矩阵，右侧即为所求逆矩阵。

对于LU分解法，将矩阵分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U，然后通过前代和回代求解方程组得到逆矩阵。

无论使用哪种方法，都需要确保矩阵可逆，即行列式不为零。

如何求逆矩阵的方法

第一种：高斯消元法

高斯消元法是最经典也是最广为人知的一种矩阵求逆方法，但是在现实应用中很少用到高斯消元法来进行矩阵的逆矩阵的求解。（考试或者手算会用到）

高斯消元法有两个版本：行变换版本与列变换版本，在日常应用中行变换应用的更广泛。这两个基本原理都是相同的。

高斯消元法先将矩阵A与单位矩阵I进行连接形成一个新的增广矩阵.

上面的方法在中学比赛或者是考研经常用这种方法，手算一下。

第二种：LU分解法

LU分解法其实是高斯消元法的一种变种算法。LU分解是将矩阵A分解为一个下三角矩阵与一个上三角矩阵的乘积。所谓的三角阵就是一半为零的矩阵。L是下三角矩阵(Lower TriangularMatrix)，即主对角线以上的元素全部都是0的矩阵。U是上三角矩阵(Upper Triangular Matrix)，即主对角线以下的元素全部都是0的矩阵。

然LU分解是高斯消元法的一种表现形式，但是相对于高斯消元法，LU分解更易于实现并行化。计算机基本用这种方法。比如求 50000*50000的这种大型矩阵。

第三种：SVD分解法

SingularValue Decomposition分解法也叫做奇异值分解，也是线性代数中十分重要的矩阵分解法，同样的能用来求解矩阵的逆矩阵。不同于LU分解中将矩阵A分解为下三角矩阵L与上三角矩阵U的乘积，SVD分解将矩阵A分解为三个矩阵的乘积，分别为：正交矩阵U、对角矩阵W以及正交矩阵V的转置矩阵V.

第四种：QR分解法

QR分解同样将原始矩阵A分解为两个矩阵的乘积，不同的是这两个矩阵分别为正交矩阵Q和上三角矩阵R。